Un corazón en el anillo

Las Matemáticas son bellas. Sí, no me miréis raro, a mi me parecen bonitas. Con unas sencillas reglas podemos explicar miles de fenómenos. Además, lo mejor que tienen es que aparecen donde menos lo esperamos. Están en los edificios que construimos, en el movimiento de los astros, el comportamiento de los átomos …

Por ejemplo, ¿qué tienen en común el punto de una circunferencia girando sobre otra y la luz que se refleja en el interior de un anillo o una taza de café? Pues, sorprendentemente, ambas dibujan la misma curva, la llamada curva del corazón.

Generacion de una epicicloide con k=3

Generación de una epicicloide con k=3, es decir, la rueda que gira tiene un radio tres veces menor que la fija. (Wikipedia)

La curva del corazón es una epicicloide. En Geometría, una epicicloide es una curva plana producida por la trayectoria de un punto de una circunferencia, llamada epiciclo, que rueda sin deslizarse sobre otra circunferencia fija. Dependiendo de la relación entre los radios de ambas circunferencias \frac{r_1}{r_2} podemos obtener una gran variedad de figuras, bellamente simétricas. Por supuesto, cuando la relación entre radios es un número racional, es decir k=\frac{r_1}{r_2}=\frac{n}{m} con n,m números enteros, la curva que se dibuja es cerrada, denominándose curvas algebráicas. 

Cuando las dos circunferencias tienen el mismo radio obtenemos una cardioide, llamada así porque la curva recuerda al dibujo de un corazón.

Generación de una cardioide por dos ruedas del mismo radio. (Wikipedia)

Generación de una cardioide por dos ruedas del mismo radio. (Wikipedia)

     – Bueno, todo esto es muy bonito pero, ¿qué tiene que ver esto con la luz reflejada en un anillo?

Ya llego a este punto, lector impaciente, pero primero veamos unos conceptos de Óptica. Como ya sabéis, si tenéis una lupa o un espejo parabólico (como los hornos solares), cuando a la lente le da el Sol hay un punto en el que los rayos del Sol se concentran, pudiendo llegar a mucha temperatura e incluso a quemar pequeños objetos. Este punto se llama foco, del latín focus, palabra de la que también derivan fogón o fuego. Los rayos del Sol llegan paralelos y al atravesar la lente o reflejarse en el espejo parabólico se dirigen todos a un punto, donde se suman, explicando que se caliente tanto.

Esto explica el calentamiento global...

Esto explica el calentamiento global…

Bien, ¿qué sucede si la lente o el espejo no son perfectos o enviamos la luz desde una fuente que se encuentra fuera del eje óptico (por ejemplo, giramos la lupa, no la enfocamos al Sol)? En este caso, la luz, en vez de concentrarse en un punto se extenderá en una superficie más o menos definida. Esta curva también tendrá más temperatura y luminosidad, y por lo tanto se denomina cáustica (del griego kaustikos, “que quema”). Todos hemos visto estas curvas, por ejemplo en el fondo de la piscina o el mar. Son esas hipnóticas bandas luminosas provocadas por el movimiento del agua.

Un pez entre cáusticas

Un pez entre cáusticas

–  Primero me hablas de curvas matemáticas, luego de lupas y ahora del mar. ¿Seguro que están relacionados?

Claro, todo está relacionado, ahora llega la explicación. Si coges una circunferencia reflectante, como una taza o un anillo, y la pones bajo la luz solar cuando el Sol no esté muy alto en el cielo, o iluminas su interior con una linterna en su borde, obtendrás una cardioide* (la curva del corazón). Así de sencillo.

cardioide

¿Cómo es posible que dos fenómenos físicos tan diferentes den lugar a la misma curva? Para verlo podemos usar dos enfoques. Uno es el de la óptica geométrica. Para ello dibujamos líneas, que representan los rayos de luz, desde un borde de la circunferencia y observamos dónde confluyen sus reflexiones (La figura de la izquierda del par que muestro abajo). La envolvente de estas líneas, es decir, la curva dibujada por la suma de los rayos, es nuestra cardioide.

Cardioides generadas por rayos de luz emitidos desde el borde inferior. Representación con rayos lineales (izquierda) y ondulatoriamente (derecha).

Cardioides generadas por rayos de luz emitidos desde el borde inferior. Representación con rayos lineales (izquierda) y ondulatoriamente (derecha). Los rayos emitidos por la fuente están en azul, mientras que las reflexiones se muestran en rojo (son colores arbitrarios, la luz no cambia de frecuencia al rebotar).

Pero también podemos verlo ondulatoriamente. Los rayos de luz son ondas, por lo que se propagarán como las olas en un estanque, rebotando en las paredes de la circunferencia. Cuando dos ondas viajando en sentidos contrarios se encuentran, sus intensidades se pueden sumar o anularse, dependiendo si tienen fase igual o contraria. En nuestra circunferencia veremos más intensamente las crestas de las ondas que se encuentran con fases similares, cuya envolvente es precisamente la cardioide. Esta cáustica no es nítida porque lleguen más rayos a la misma, sino porque las ondas, que inundan la circunferencia, se encuentran en la curva con la misma fase, y suman sus contribuciones.

* Nota: En realidad, al iluminar la circunferencia con una luz infinitamente lejana (como el Sol) se obtiene una nefroide o curva del riñón. Es muy parecida a la cardioide, pero el nombre no es tan atractivo, así que permitidme la aproximación.

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