Investigadores obtienen la imagen de un rostro a partir del ADN

Estamos en la escena de un crimen. Es un caso especialmente difícil de resolver. No hay testigos visuales, los investigadores no tienen ningún sospechoso ni un móvil que pueda explicar los hechos. Sin embargo, están cerca de resolver el caso, porque han encontrado un pelo del atacante. Llevan la prueba al laboratorio y en unas horas tienen la cara del asesino, reconstruida a partir de su ADN.

CSI: CRIME SCENE INVESTIGATION

Aunque parece una escena sacada de CSI o una película de ciencia ficción, puede que dentro de no mucho tiempo se pueda hacer algo parecido. Unos investigadores de la Universidad de Pensilvania han desarrollado un programa de ordenador que puede crear un modelo tridimensional basto de una cara a partir de una muestra de ADN.

Desde hace unos años se puede conocer el color de los ojos y el pelo a partir del ADN de una persona, conociendo los genes que regulan estas características. Sin embargo, la estructura de una cara es mucho más compleja, y mucho más importante para investigadores forenses. El problema es que es mucho más difícil conectar los rasgos de un rostro con variaciones genéticas.

El antropólogo Shriver y sus colegas tomaron imágenes de alta resolución de las caras de 592 personas con ancestros europeos y africanos y usaron esas imágenes para crear modelos 3D de las caras. De estos modelos tomaron más de 7000 puntos de la superficie y midieron cómo esas caras variaban de la media (si tenían la nariz más plana, los pómulos más anchos, si eran más masculinas o femeninas, así como la etnia).

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En un segundo paso, los autores compararon el genoma de los voluntarios para identificar puntos en los que el ADN se diferenciaba por una sola base. Para reducir la búsqueda, se enfocaron en genes que se piensa están involucrados en el desarrollo del rostro, como la forma de la cabeza en el desarrollo embrionario temprano, y aquellos que se encuentran mutados en patologías que afectan a la forma del rostro. Entonces, teniendo en cuenta el sexo y los ancestros de la persona, fueron capaces de calcular la probabilidad de que un gen fuera responsable de una característica facial particular.

Una vez identificaron 20 genes asociados con la forma de la cara, desarrollaron un programa que realiza el trabajo inverso, es decir, transforma el ADN de un individuo desconocido en un modelo facial. Por supuesto, se trata de aproximaciones, ya que hay muchos genes que están involucrados en el proceso. Identificarlos a todos podría llevar mucho tiempo. Por eso los autores afirman que se necesitan más personas y genes para dar resultados más precisos.

¿Veremos estas investigaciones aplicadas a la vida real? ¿Tendrán en un futuro los policias este tipo de herramientas?  Seguro que, de ser así, su trabajo se simplificaría mucho.

Fuente: http://www.nature.com/news/mugshots-built-from-dna-data-1.14899

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El cine de Futurama y el tamaño del infinito

Entre los guionistas de Los Simpsons y Futurama hay varios físicos y matemáticos, como J. Stewart Burns (Matemático por Harvard y Berkeley), David X. Cohen (Físico por Harvard) y Ken Keeler (Matemáticas por Harvard). Esto explica muchos de los guiños matemáticos que aparecen en sus capítulos. En ocasiones estos están tan ocultos y son tan sutiles que sólo un experto podría detectarlos. Hoy me valdré de uno de sus guiños para hablaros del más pequeño de los infinitos. ¿El infinito más pequeño? ¿Se puede hablar de tamaño del infinito? Veamos que sí, en cierta forma.

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Un cine al que nunca se le acaban las entradas

En el capítulo “Bender salvaje” aparece la imagen de un cine muy particular, el Loew’s \aleph_0-Plex. El nombre, una clara parodia de los Multi-Plex, contiene un objeto matemático curioso, la \aleph_0, (pronunciado “alef-sub-cero”, referencia a la primera letra del alfabeto Hebreo). En Matemáticas, y en particular en Teoría de Conjuntos, los números \aleph son símbolos que representan la cardinalidad (tamaño) de conjuntos infinitos.  Los números alef se usan para medir el tamaño de conjuntos, por lo tanto son diferentes del infinito \infty del Álgebra o el Cálculo. El más pequeño de ellos es nuestro \aleph_0, que representa el conjunto infinito de elementos numerables, es decir, los infinitos compuestos por números que podemos contar con los dedos, como los números naturales o los enteros. Es decir, el cine de Futurama es un cine con un número infinito, pero numerable, de salas de cines.

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Imaginemos por un momento que algo así puede existir. Para simplificarlo, supongamos que existe una sala de cine con infinitos asientos numerados como 1,2,3,4,… Justo en ese cine ponen la pelicula que llevamos tanto tiempo esperando. Llegamos con poco tiempo de antelación, esperando que no nos toque muy atrás, y al llegar a la taquilla descubrimos con horror que la sala está llena. De alguna forma hay infinitas personas en la sala, la persona 1 sentada en el asiento 1, la persona 2 en el asiento 2 y así sucesivamente.

En una sala finita no habría nada que hacer, nos tocaría irnos a casa. Pero en este caso la sala es infinita, y que esté llena no es impedimento para que haya asiento para uno más. Lo único que tiene que hacer el acomodador es pedir a cada persona que ocupe el asiento contiguo. Así, la persona 1 se moveria al asiento 2, la persona 2 al asiento 3, la persona n al asiento n+1, etc. De esta forma, ninguna persona perderá su asiento y el asiento número 1 quedará libre para que nos sentemos nosotros.

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Es más, si llegan infinitas personas detrás nuestro tampoco sería un problema. El acomodador podría pedir que cada persona n se moviera al asiento 2n (es decir, 1\rightarrow2,2\rightarrow4,3\rightarrow6,\ldots) y ya tendríamos infinitos asientos libres para los que esperan.

Paradójicamente, antes de que llegaramos nosotros y nuestros infinitos amigos había el mismo número de personas que de asientos, y después de acomodar a infinitas nuevas personas esto no cambio, seguía habiendo el mismo número de personas que de asientos. Esto es así porque hemos sido capaces de encontrar una función biyectiva entre asientos y personas, es decir, hemos asociado una persona a un solo asiento, sin repetir, y en todos los asientos hay una persona.

Este ejercicio mental recibe el nombre del Hotel de Hilbert, en honor al matemático David Hilbert (1862-1943), que fue el que lo describió por primera vez, utilizando el ejemplo de un hotel.

David Hilbert, yendo a la moda de la epoca.

David Hilbert, yendo a la moda de la época.

De la misma forma, se puede demostrar que los números enteros (\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,\ldots), que incluyen los números negativos más los naturales tienen la misma cantidad de elementos que los números naturales. Lo mismo ocurre con los números racionales, de la forma \frac{a}{b}, con a y b números enteros. Todos estos conjuntos tienen cardinalidad (tamaño) igual a \aleph_0.

Para irnos a un infinito más grande (llamado \aleph_1) tenemos que hablar del conjunto de los números reales, que incluyen los números que se pueden escribir como una secuencia infinita de decimales. Así, por ejemplo, hay mas números reales entre 0 y 1 que números naturales. Pero, sin embargo, el tamaño de los números reales entre 0 y 1 es el mismo que el de todos los números reales. Para rizar más el rizo, hay el mismo número de puntos en una linea que en un plano, y tantos puntos en un plano como en el espacio, sea de las dimensiones que sea. Todos tienen cardinalidad \aleph_1.

Incluso hay infinitos mas grandes que el de los reales (denominados \aleph_2, \aleph_3,\ldots). El matemático Georg Cantor provó que los conjuntos infinitos siempre tienen más subconjuntos que elementos, es decir, hay mas formas de agrupar los elementos de un conjunto infinito que elementos en el conjunto. Así, hay más subconjuntos de números reales que números reales, más subconjuntos de subconjuntos de números reales que subconjuntos de números reales, y así sucesivamente. ¡Hay incluso infinitos de tamaño infinito!

Os recomiendo ver el divertido video de 60 segundos (inglés subtitulado) de The Open University, donde explica esta paradoja con una simpática animación.