Los casinos de Monte Carlo y la Física

Casino de Monte Carlo

Casino de Monte Carlo

Ciertamente, la financiación de la ciencia no esta en sus mejores momentos, e incluso hay investigadores que han tenido que recurrir a programas de televisión para conseguir dinero para sus investigaciones. Pero yo al menos, afortunadamente, no he tenido que recurrir al casino para ganarme el sueldo. Aunque el título huela a dinero, este post va por otro camino. Si menciono la ciudad del Principado de Mónaco es por la técnica para simular procesos complejos, que toma su nombre de la ciudad famosa por sus casinos.

Las simulaciones Monte Carlo acoge en un mismo nombre una gran cantidad de algoritmos computacionales basados en utilizar números aleatorios (mejor dicho, pseudoaleatorios) para obtener la solución a un problema complejo, simulando el mismo problema con diferentes condiciones iniciales para conseguir la distribución de probabilidad de la cantidad que se quiera obtener. De hecho, es lo mismo que hacemos al apostar en una ruleta del casino, con resultados más o menos desastrosos para nuestros bolsillos.

Una máquina de pinball de 1995: ``Theatre of magic''. via Wikipedia.

Una máquina de pinball de 1995: “Theatre of magic”. via Wikipedia.

Pongamos un ejemplo. Supongamos que tenemos un pinball y queremos calcular la probabilidad de que la bola de pinball caiga directamente entre las dos paletas sin que podamos intervenir. La dinámica de este sistema es demasiado complicada como para ser analizada desde un punto de vista analítico. Las mínimas variaciones en la energía, posición o dirección del lanzamiento inicial podrían hacer caer a la bola en un lugar completamente diferente. Haría falta entonces repetir el experimento de lanzar la bola numerosas veces con un pinball real y anotar cuidadosamente los resultados. Sin embargo, este experimento requeriría, primero, de un paintball real, de mucho tiempo (libre) y no podríamos saber si el hecho de colocar un elemento adicional en el tablero cambiaría la probabilidad o no.

La alternativa es hacer un experimento virtual, una simulación de Monte Carlo. En este ejemplo, el procedimiento sería desarrollar un programa que simule el paintball, reproduciendo la interacción de la bola con todos los elementos del tablero. A continuación, lanzaríamos virtualmente numerosas bolas con diferentes energías, posiciones y direcciones. La precisión del resultado (el número de veces que la bola pasa a través de las paletas, de forma que el jugador no pueda jugar, dividido por el número de disparos realizados) dependerá del número de lanzamientos efectuados. Cuando se ha realizado un número suficientemente grande de eventos (la estadística es suficientemente grande), es posible hacer medidas, lo que consiste en simular la respuesta de nuestros detectores o instrumentos de medida a la serie de eventos generados. Por ejemplo, es posible medir el número medio de colisiones con un elemento del tablero, o incluso medir (siempre virtualmente), la energía disipada de media por la bola en la colisión con un elemento. Medida, esta última, que será muy difícil de realizar con una experiencia real.

Aunque Enrico Fermi ya planteo este metodo en 1930, oficialmente los orígenes del método de Monte Carlo se remontan a 1946. En el laboratorio de Los Alamos (epicentro del Proyecto Manhattan donde se desarrollo la bomba atómica) los físicos John von Neumann y Stanislaw Ulam  estudiaban el transporte de neutrones a través de materiales para mejorar la protección ante la radiación. La ecuación de transporte que describe el proceso es tremendamente complicada, imposible de resolver analíticamente para casos realistas. Un dia, Ulam estaba enfermo, pasando el rato jugando al solitario, cuando se pregunto cuál era la probabilidad de obtener las 52 cartas en el orden correcto. Lo intento con cálculo probabilístico, pero al final se le ocurrió utilizar números aleatorios para resolver el problema. La aplicación de este método al problema de transporte de neutrones fue inmediata. El nombre de Monte Carlo le fue asignado más tarde por Nicholas Metropolis, en referencia a la tradición de juegos de azar del Principado. La difusión de la técnica de simulación ha seguido, claramente, a la de los ordenadores y está hoy en día prácticamente omnipresente en los experimentos de física.

Al igual que sucede en nuestro experimiento de pinball, en los experimentos reales
las simulaciones Monte Carlo se utilizan ampliamente desde la concepción de un experimento, para evaluar cuáles serán las características que el experimiento deberá tener para poder medir las cantidades deseadas. Posteriormente son utilizadas para concebir y optimizar los detectores y para interpretar las señales. Por ejemplo, en la figura  de abajo se representan los datos experimentales medidos durante el experimento ATLAS y las predicciones de la simulación Monte Carlo.

En negro se representan los datos medidos a través del experimento ATLAS,  en rojo y en violeta las predicciones de la simulación Monte Carlo de eventos debidos a otros procesos ya conocidos,  en verde la diferencia entre la predicción de la simulación y los datos efectivamente medidos.  El excedente es compatible con la señal que será obtenida si estuviera producida por el bosón de Higgs y  si este tuviera una masa de 125 GeV, como vemos en la simulación en azul.

En negro se representan los datos medidos a través del experimento ATLAS, en rojo y en violeta las predicciones de la simulación Monte Carlo de eventos debidos a otros procesos ya conocidos, en verde la diferencia entre la predicción de la simulación y los datos efectivamente medidos. El excedente es compatible con la señal que será obtenida si estuviera producida por el bosón de Higgs y si este tuviera una masa de 125 GeV, como vemos en la simulación en azul.

Evidentemente, es esencial que la simulación reproduzca de la forma más exacta posible los datos que serán producidos durante la adquisicion de datos experimental. Si no, sería casi imposible reconstruir los procesos que los han generado a partir de las señales producidas por los detectores. Así, el uso de simulaciones numéricas para reconstruir los eventos que generan las señales son imprescindibles.

Para obtener simulaciones realistas, se han desarrollado numerosos programas a lo largo de los años, dependiendo del problema que se quiera resolver. Cuando se trata de simulaciones dedicadas a experimentos de Física de Partículas, estos programas (como FLUKA, Geant4, MCNPX,…) simulan lo que sucede en millones de interacciones en las cuales, en función de la energía implicada, las partículas puede ser aniquiladas o creadas, y se describe el transporte y las interacciones de las partículas con los átomos del material.

Además de en la investigación básica, las técnicas de Monte Carlo se aplican actualmente en prácticamente todos los campos de la ciencia, desde la Biología a las Telecomunicaciones, en las Matemáticas y, por supuesto, en la Física Médica. En particular, la utilización de códigos de transporte Monte Carlo es muy importante en numerosas etapas del tratamiento del cáncer mediante radioterapia.

El transporte de partículas a través de los tejidos del cuerpo es complejo, no solamente debido a la complejidad de describirlo a través de la resolución de la ecuación de transporte de Boltzman, sino también por la heterogeneidad intrínseca del cuerpo humano. La Física Médica utiliza sobre todo sistemas de Planificación de Tratamiento (TPS por sus siglas en ingles), programas especializados basados en modelos analíticos que ayudan a obtener una distribución tridimensional de la dosis a administrar al paciente.

En algunos casos, las soluciones analíticas aproximadas pueden ser útiles. De hecho, para la radioterapia tradicional basada en rayos X y electrones, estas soluciones son bastante rápidas y precisas. No obstante, en los últimos decenios, la utilización de protones y de iones está surgiendo como alternativa.

Por supuesto, la localización exacta del lugar donde la dosis se libera es esencial para este tipo de tratamiento y una simulación de Monte Carlo es la herramienta ideal para hacer este tipo de predicciones, sobre todo para aquello que concierne a iones pesados como el carbono, que además de interaccionar con el medio, puede fragmentarse.

Esquema de la fragmentación del carbono.

Esquema de la fragmentación del carbono.

La predicción de la fragmentación del carbono, que constituye parte de nuestro trabajo,
es uno de los puntos sobre los cuales se concentra la investigación. Su importancia deriva del hecho de que la fragmentación del carbono falsea la dosis liberada,
ya que los fragmentos se crean y viajan por el cuerpo. Por otro lado, se busca una forma de utilizar estos fragmentos para obtener imágenes en tiempo real de la zona afectada para permitir el control directo del emplazamiento y de la cantidad de dosis liberada en el paciente.

Comparación entre la dosis administrada por un software numérico y un código Monte Carlo (FLUKA)  en el caso donde existan implantes metálicos. Imagen: K. Parodi et al, IJROBP 2007.

Comparación entre la dosis administrada predicha por un software numérico analitico (TPS) y el código Monte Carlo FLUKA en el caso donde existan implantes metálicos. Imagen: K. Parodi et al, IJROBP 2007.

La utilización de simulaciones de Monte Carlo para verificar la dosis depositada en el
paciente es particularmente importante en el caso de cambios bruscos de densidad,
por ejemplo en la proximidad de los pulmones o si existen implantes metálicos, como vemos en la figura.

En conclusión, la técnica de Monte Carlo permite simular procesos que son muy complejos como para poderse tratar de forma analítica. En lo concerniente a la hadronterapia, las simulaciones de Monte Carlo se utilizan tanto en la investigación como en las clínicas para diseñar experimentos, en pantallas protectoras y en procedimientos de seguridad, para verificar los planes de tratamiento a estudiar de nuevas técnicas para la evaluación de los tratamientos.

Accastampato es una iniciativa de divulgación realizado por estudiantes de Física de la Universidad la Sapienza de Roma, con el objetivo de mostrar al público no especializado y los estudiantes de instituto diversos temas de investigación, explicados de una manera sencilla y amena. Gracias al esfuerzo de sus editores, la revista se traduce actualmente al italiano, inglés, francés y español. La idea es enviar partidas de la revista a diversos institutos de Italia, Francia y España, aunque la financiación a veces es insuficiente. Por fortuna, la revista se puede descargar gratuitamente de su página web, y os invito a descargarla o leerla online.

Este post esta basado en una colaboración que realice junto con Carlo Mancini Terracciano para su último número “Los átomos que curan“, dedicado a la Física aplicada a la Medicina.

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El cine de Futurama y el tamaño del infinito

Entre los guionistas de Los Simpsons y Futurama hay varios físicos y matemáticos, como J. Stewart Burns (Matemático por Harvard y Berkeley), David X. Cohen (Físico por Harvard) y Ken Keeler (Matemáticas por Harvard). Esto explica muchos de los guiños matemáticos que aparecen en sus capítulos. En ocasiones estos están tan ocultos y son tan sutiles que sólo un experto podría detectarlos. Hoy me valdré de uno de sus guiños para hablaros del más pequeño de los infinitos. ¿El infinito más pequeño? ¿Se puede hablar de tamaño del infinito? Veamos que sí, en cierta forma.

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Un cine al que nunca se le acaban las entradas

En el capítulo “Bender salvaje” aparece la imagen de un cine muy particular, el Loew’s \aleph_0-Plex. El nombre, una clara parodia de los Multi-Plex, contiene un objeto matemático curioso, la \aleph_0, (pronunciado “alef-sub-cero”, referencia a la primera letra del alfabeto Hebreo). En Matemáticas, y en particular en Teoría de Conjuntos, los números \aleph son símbolos que representan la cardinalidad (tamaño) de conjuntos infinitos.  Los números alef se usan para medir el tamaño de conjuntos, por lo tanto son diferentes del infinito \infty del Álgebra o el Cálculo. El más pequeño de ellos es nuestro \aleph_0, que representa el conjunto infinito de elementos numerables, es decir, los infinitos compuestos por números que podemos contar con los dedos, como los números naturales o los enteros. Es decir, el cine de Futurama es un cine con un número infinito, pero numerable, de salas de cines.

infinity

Imaginemos por un momento que algo así puede existir. Para simplificarlo, supongamos que existe una sala de cine con infinitos asientos numerados como 1,2,3,4,… Justo en ese cine ponen la pelicula que llevamos tanto tiempo esperando. Llegamos con poco tiempo de antelación, esperando que no nos toque muy atrás, y al llegar a la taquilla descubrimos con horror que la sala está llena. De alguna forma hay infinitas personas en la sala, la persona 1 sentada en el asiento 1, la persona 2 en el asiento 2 y así sucesivamente.

En una sala finita no habría nada que hacer, nos tocaría irnos a casa. Pero en este caso la sala es infinita, y que esté llena no es impedimento para que haya asiento para uno más. Lo único que tiene que hacer el acomodador es pedir a cada persona que ocupe el asiento contiguo. Así, la persona 1 se moveria al asiento 2, la persona 2 al asiento 3, la persona n al asiento n+1, etc. De esta forma, ninguna persona perderá su asiento y el asiento número 1 quedará libre para que nos sentemos nosotros.

Hotel-de-Hilbert-occupé-libre

Es más, si llegan infinitas personas detrás nuestro tampoco sería un problema. El acomodador podría pedir que cada persona n se moviera al asiento 2n (es decir, 1\rightarrow2,2\rightarrow4,3\rightarrow6,\ldots) y ya tendríamos infinitos asientos libres para los que esperan.

Paradójicamente, antes de que llegaramos nosotros y nuestros infinitos amigos había el mismo número de personas que de asientos, y después de acomodar a infinitas nuevas personas esto no cambio, seguía habiendo el mismo número de personas que de asientos. Esto es así porque hemos sido capaces de encontrar una función biyectiva entre asientos y personas, es decir, hemos asociado una persona a un solo asiento, sin repetir, y en todos los asientos hay una persona.

Este ejercicio mental recibe el nombre del Hotel de Hilbert, en honor al matemático David Hilbert (1862-1943), que fue el que lo describió por primera vez, utilizando el ejemplo de un hotel.

David Hilbert, yendo a la moda de la epoca.

David Hilbert, yendo a la moda de la época.

De la misma forma, se puede demostrar que los números enteros (\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,\ldots), que incluyen los números negativos más los naturales tienen la misma cantidad de elementos que los números naturales. Lo mismo ocurre con los números racionales, de la forma \frac{a}{b}, con a y b números enteros. Todos estos conjuntos tienen cardinalidad (tamaño) igual a \aleph_0.

Para irnos a un infinito más grande (llamado \aleph_1) tenemos que hablar del conjunto de los números reales, que incluyen los números que se pueden escribir como una secuencia infinita de decimales. Así, por ejemplo, hay mas números reales entre 0 y 1 que números naturales. Pero, sin embargo, el tamaño de los números reales entre 0 y 1 es el mismo que el de todos los números reales. Para rizar más el rizo, hay el mismo número de puntos en una linea que en un plano, y tantos puntos en un plano como en el espacio, sea de las dimensiones que sea. Todos tienen cardinalidad \aleph_1.

Incluso hay infinitos mas grandes que el de los reales (denominados \aleph_2, \aleph_3,\ldots). El matemático Georg Cantor provó que los conjuntos infinitos siempre tienen más subconjuntos que elementos, es decir, hay mas formas de agrupar los elementos de un conjunto infinito que elementos en el conjunto. Así, hay más subconjuntos de números reales que números reales, más subconjuntos de subconjuntos de números reales que subconjuntos de números reales, y así sucesivamente. ¡Hay incluso infinitos de tamaño infinito!

Os recomiendo ver el divertido video de 60 segundos (inglés subtitulado) de The Open University, donde explica esta paradoja con una simpática animación.

Un corazón en el anillo

Las Matemáticas son bellas. Sí, no me miréis raro, a mi me parecen bonitas. Con unas sencillas reglas podemos explicar miles de fenómenos. Además, lo mejor que tienen es que aparecen donde menos lo esperamos. Están en los edificios que construimos, en el movimiento de los astros, el comportamiento de los átomos …

Por ejemplo, ¿qué tienen en común el punto de una circunferencia girando sobre otra y la luz que se refleja en el interior de un anillo o una taza de café? Pues, sorprendentemente, ambas dibujan la misma curva, la llamada curva del corazón.

Generacion de una epicicloide con k=3

Generación de una epicicloide con k=3, es decir, la rueda que gira tiene un radio tres veces menor que la fija. (Wikipedia)

La curva del corazón es una epicicloide. En Geometría, una epicicloide es una curva plana producida por la trayectoria de un punto de una circunferencia, llamada epiciclo, que rueda sin deslizarse sobre otra circunferencia fija. Dependiendo de la relación entre los radios de ambas circunferencias \frac{r_1}{r_2} podemos obtener una gran variedad de figuras, bellamente simétricas. Por supuesto, cuando la relación entre radios es un número racional, es decir k=\frac{r_1}{r_2}=\frac{n}{m} con n,m números enteros, la curva que se dibuja es cerrada, denominándose curvas algebráicas. 

Cuando las dos circunferencias tienen el mismo radio obtenemos una cardioide, llamada así porque la curva recuerda al dibujo de un corazón.

Generación de una cardioide por dos ruedas del mismo radio. (Wikipedia)

Generación de una cardioide por dos ruedas del mismo radio. (Wikipedia)

     – Bueno, todo esto es muy bonito pero, ¿qué tiene que ver esto con la luz reflejada en un anillo?

Ya llego a este punto, lector impaciente, pero primero veamos unos conceptos de Óptica. Como ya sabéis, si tenéis una lupa o un espejo parabólico (como los hornos solares), cuando a la lente le da el Sol hay un punto en el que los rayos del Sol se concentran, pudiendo llegar a mucha temperatura e incluso a quemar pequeños objetos. Este punto se llama foco, del latín focus, palabra de la que también derivan fogón o fuego. Los rayos del Sol llegan paralelos y al atravesar la lente o reflejarse en el espejo parabólico se dirigen todos a un punto, donde se suman, explicando que se caliente tanto.

Esto explica el calentamiento global...

Esto explica el calentamiento global…

Bien, ¿qué sucede si la lente o el espejo no son perfectos o enviamos la luz desde una fuente que se encuentra fuera del eje óptico (por ejemplo, giramos la lupa, no la enfocamos al Sol)? En este caso, la luz, en vez de concentrarse en un punto se extenderá en una superficie más o menos definida. Esta curva también tendrá más temperatura y luminosidad, y por lo tanto se denomina cáustica (del griego kaustikos, “que quema”). Todos hemos visto estas curvas, por ejemplo en el fondo de la piscina o el mar. Son esas hipnóticas bandas luminosas provocadas por el movimiento del agua.

Un pez entre cáusticas

Un pez entre cáusticas

–  Primero me hablas de curvas matemáticas, luego de lupas y ahora del mar. ¿Seguro que están relacionados?

Claro, todo está relacionado, ahora llega la explicación. Si coges una circunferencia reflectante, como una taza o un anillo, y la pones bajo la luz solar cuando el Sol no esté muy alto en el cielo, o iluminas su interior con una linterna en su borde, obtendrás una cardioide* (la curva del corazón). Así de sencillo.

cardioide

¿Cómo es posible que dos fenómenos físicos tan diferentes den lugar a la misma curva? Para verlo podemos usar dos enfoques. Uno es el de la óptica geométrica. Para ello dibujamos líneas, que representan los rayos de luz, desde un borde de la circunferencia y observamos dónde confluyen sus reflexiones (La figura de la izquierda del par que muestro abajo). La envolvente de estas líneas, es decir, la curva dibujada por la suma de los rayos, es nuestra cardioide.

Cardioides generadas por rayos de luz emitidos desde el borde inferior. Representación con rayos lineales (izquierda) y ondulatoriamente (derecha).

Cardioides generadas por rayos de luz emitidos desde el borde inferior. Representación con rayos lineales (izquierda) y ondulatoriamente (derecha). Los rayos emitidos por la fuente están en azul, mientras que las reflexiones se muestran en rojo (son colores arbitrarios, la luz no cambia de frecuencia al rebotar).

Pero también podemos verlo ondulatoriamente. Los rayos de luz son ondas, por lo que se propagarán como las olas en un estanque, rebotando en las paredes de la circunferencia. Cuando dos ondas viajando en sentidos contrarios se encuentran, sus intensidades se pueden sumar o anularse, dependiendo si tienen fase igual o contraria. En nuestra circunferencia veremos más intensamente las crestas de las ondas que se encuentran con fases similares, cuya envolvente es precisamente la cardioide. Esta cáustica no es nítida porque lleguen más rayos a la misma, sino porque las ondas, que inundan la circunferencia, se encuentran en la curva con la misma fase, y suman sus contribuciones.

* Nota: En realidad, al iluminar la circunferencia con una luz infinitamente lejana (como el Sol) se obtiene una nefroide o curva del riñón. Es muy parecida a la cardioide, pero el nombre no es tan atractivo, así que permitidme la aproximación.